№3 1. Даны два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \), \( \triangle ADC \) (рис1). \(AC\) — биссектриса, \(\angle BAC = 35°\). Доказать: \( \triangle ABC = \triangle ADC \). Найти \(\angle BCD\).

Решение:

Доказательство равенства треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \):

По условию, \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — прямоугольные треугольники. Это означает, что \(\angle ABC = 90°\) и \(\angle ADC = 90°\).

Нам дано, что \(AC\) — биссектриса угла \(\angle BAD\). Следовательно, \(\angle BAC = \angle DAC\).

По условию, \(\angle BAC = 35°\), значит, \(\angle DAC = 35°\).

Общая сторона \(AC\) является гипотенузой для обоих прямоугольных треугольников.

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \):

1. \( \angle ABC = \angle ADC = 90° \) (по условию, треугольники прямоугольные).
2. \( AC \) — общая гипотенуза.
3. \( \angle BAC = \angle DAC = 35° \) (по условию, \(AC\) — биссектриса).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (или по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам, если рассматривать \( AC \) как сторону, а \(\angle BAC\) и \(\angle BCA \) как углы), \( \triangle ABC = \triangle ADC \).

Нахождение \(\angle BCD\):

Так как \( \triangle ABC = \triangle ADC \), то соответствующие углы равны:

\[ \angle BCA = \angle DCA \]

В прямоугольном \( \triangle ABC \):

\[ \angle BCA = 180° - \angle ABC - \angle BAC = 180° - 90° - 35° = 55° \]

Следовательно, \(\angle DCA = 55°\).

Угол \(\angle BCD\) является суммой углов \(\angle BCA\) и \(\angle DCA\):

\[ \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55° + 55° = 110° \]

Ответ: \( \triangle ABC = \triangle ADC \), \(\angle BCD = 110°\).