№3. 1) Построить график функции и указать область определения и область значения функции: y = −x² + 6x − 5. 2) Найти по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции и промежутки, в которых y > 0, y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Преобразуем выражение, выделив квадрат двучлена: \(y=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\). Значит, вершина параболы — \((3;4)\), ось симметрии — \(x=3\), ветви направлены вниз.

Для построения отметим вершину, точки пересечения с осями и симметричные точки. График ниже — парабола \(y=-(x-3)^2+4\).

а) С осью ординат график пересекается при \(x=0\): \((0;-5)\). Для пересечений с осью абсцисс решаем уравнение \(-x^2+6x-5=0\): \((x-1)(x-5)=0\), откуда точки \((1;0)\) и \((5;0)\).

б) Нули функции: \(x=1\) и \(x=5\). Парабола выше оси абсцисс между нулями, поэтому \(y>0\) при \(x\in(1;5)\). Ниже оси — при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\).

в) До вершины функция возрастает, после вершины убывает: возрастает на \((−\infty;3]\), убывает на \([3;+\infty)\).

г) Наибольшее значение функции равно 4 и достигается при \(x=3\). Наименьшего значения нет, так как при удалении от вершины вниз функция не ограничена.

Ответ: D(y)=ℝ; E(y)=(−∞;4]; пересечения с осями: (0;−5), (1;0), (5;0); нули 1 и 5; максимум 4, минимума нет.