№3. 1) Постройте график функции. Укажите область определения и область значений функции: y = 2x² − 8x + 6. 2) Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0, y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Преобразуем функцию, выделив квадрат двучлена: \(y=2x^2-8x+6=2(x-2)^2-2\). Это парабола с ветвями вверх и вершиной \((2,-2)\).

Нули функции найдём разложением на множители: \(2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3)=0\), поэтому \(x=1\) или \(x=3\). При \(x=0\) получаем \(y=6\).

Область определения: \(D(f)=(-\infty,+\infty)\). Минимум достигается в вершине: \(y_{\min}=-2\), поэтому область значений \(E(f)=[-2,+\infty)\).

Точки пересечения с осями: с осью \(Ox\) — \((1,0)\) и \((3,0)\); с осью \(Oy\) — \((0,6)\). Нули функции: 1 и 3. Так как парабола направлена вверх, \(y>0\) при \(x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(1,3)\). Функция убывает на \((-\infty,2]\) и возрастает на \([2,+\infty)\). Наименьшее значение равно −2; наибольшего значения нет.

Ответ: пересечения — \((1,0)\), \((3,0)\), \((0,6)\); нули — 1 и 3; минимум — −2, максимума нет.