№3 1) Постройте график функции. Укажите область определения и область значения функции: y = 2x² − 8x + 6. 2) Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0, y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Выделим полный квадрат: \(y=2x^2-8x+6=2(x-2)^2-2\). Поэтому вершина параболы — \((2,-2)\), ветви направлены вверх.

График функции:

Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\), поскольку функция определена при любом x. Минимум достигается в вершине и равен −2, поэтому область значений: \(E(y)=[-2;+\infty)\).

а) Пересечение с осью Oy: при \(x=0\), \(y=6\), то есть \((0;6)\). Для пересечений с Ox решаем \(2x^2-8x+6=0\): \(2(x-1)(x-3)=0\), откуда точки \((1;0)\) и \((3;0)\).

б) Нули функции: \(x=1\) и \(x=3\). Парабола направлена вверх, поэтому \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(1;3)\).

в) Функция убывает на \((-;2]\) и возрастает на \([2;+)\).

г) Наименьшее значение функции равно −2 при \(x=2\). Наибольшего значения нет.