№3. 1) Постройте график функции y = −x² + 6x − 5. Укажите область определения и область значений функции. 2) Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции и промежутки, в которых y > 0, y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Преобразуем формулу, выделив полный квадрат: y = −x² + 6x − 5 = −(x − 3)² + 4. Значит, график — парабола с вершиной (3; 4), ветви направлены вниз, ось симметрии x = 3.

Для построения найдём пересечения с осями. При y = 0: −(x − 1)(x − 5) = 0, поэтому x = 1 и x = 5. При x = 0 получаем y = −5.

Область определения: D(y) = (−∞; +∞), поскольку функция задана многочленом. Максимум достигается в вершине и равен 4, поэтому область значений E(y) = (−∞; 4].

1. Пересечения с осями: с осью Ox — (1; 0) и (5; 0); с осью Oy — (0; −5).
2. Нули функции: x = 1 и x = 5. Функция положительна при 1 < x < 5 и отрицательна при x < 1 или x > 5.
3. Функция возрастает на (−∞; 3] и убывает на [3; +∞).
4. Наибольшее значение равно 4 при x = 3. Наименьшего значения нет.