3.1) Точки A и B расположены по разные стороны от прямой a, C ∈ a, AB = 37 дм, AC = 12 дм, CB = 26 дм. Является ли точка C точкой пересечения отрезка AB и прямой a? 3.2) Точки C и D расположены на отрезке AB так, что AC = DB. Точка C лежит между точками A и D. Найдите расстояние между серединами отрезков AC и DB, если AB = 58 см, CD = 2,8 дм. 3.3) Точки E и F расположены по разные стороны от прямой b, M ∈ b, EF = 29 см, EM = 14 см, MF = 16 см. Является ли точка M точкой пересечения отрезка EF и прямой b? 3.4) Точки E и F расположены на отрезке CD так, что CE = DF; точка E лежит между точками C и F. Расстояние между серединами отрезков CE и DF равно 8,5 дм, а длина отрезка CD равна 1,2 м. Найдите длину отрезка EF. 3.5) На прямой a расположены точки M, A и B. Найдите отрезки MA и MB, если AB = 6 см и MA + MB = 9 см. 3.6) На прямой отмечены последовательно точки A, B, C и D так, что AB = CD. Существуют ли ещё пары равных отрезков с концами в названных точках? 3.7) На прямой b расположены точки A, E и F. Найдите отрезки AE и AF, если EF = 8 см и AE + AF = 14 см.

Если C является точкой пересечения отрезка AB с прямой a, то должно выполняться \(AB=AC+CB\). Но \(AC+CB=12+26=38\) дм, а \(AB=37\) дм.

Ответ: нет, точка C не является точкой пересечения.

Пусть \(AC=DB=x\). Тогда середина AC находится на расстоянии \(x/2\) от A, а середина DB — на расстоянии \(x/2\) от B. Поэтому расстояние между серединами равно \(AB-x\).

Так как \(CD=2{,}8\) дм \(=28\) см, то \(AB=AC+CD+DB=2x+28\).

\(58=2x+28\), откуда \(x=15\) см.

Искомое расстояние: \(58-15=43\) см.

Ответ: 43 см.

Для пересечения отрезка EF с прямой b должно быть \(EF=EM+MF\). Но \(EM+MF=14+16=30\) см, а \(EF=29\) см.

Ответ: нет, точка M не является точкой пересечения.

Пусть \(CE=DF=x\). Середины отрезков CE и DF находятся соответственно на расстояниях \(x/2\) от C и D, поэтому расстояние между ними равно \(CD-x\).

\(CD=1{,}2\) м \(=12\) дм, следовательно, \(12-x=8{,}5\), откуда \(x=3{,}5\) дм.

Так как точки расположены последовательно C, E, F, D, то \(EF=CD-CE-DF=12-3{,}5-3{,}5=5\) дм.

Ответ: 5 дм.

Расположение точки M относительно A и B не указано, поэтому возможны два случая.

Если M лежит вне отрезка AB, то \(MA-MB=AB=6\) см и \(MA+MB=9\) см. Отсюда \(MA=7{,}5\) см, \(MB=1{,}5\) см.

Если M лежит между A и B, то \(MA+MB=AB=6\) см, что противоречит условию \(MA+MB=9\) см.

Ответ: MA = 7,5 см, MB = 1,5 см.

Пусть \(AB=CD=x\), а \(BC=y\). Тогда \(AC=x+y\), \(BD=y+x\), поэтому \(AC=BD\).

Кроме того, \(AD=AB+BC+CD=2x+y\), а \(BC=y\), поэтому эти отрезки не равны (их длины положительны и различаются на \(2x\)).

Ответ: да, ещё одна пара — AC и BD.

Точка E может находиться между A и F или вне отрезка AF.

Если E находится между A и F, то \(AF=AE+EF\). Тогда \(AE+AF=2AE+8=14\), откуда \(AE=3\) см, \(AF=11\) см.

Если A находится между E и F, то \(EF=AE-AF\). Вместе с \(AE+AF=14\) получаем \(AE=11\) см, \(AF=3\) см.

Ответ: AE = 3 см и AF = 11 см либо AE = 11 см и AF = 3 см.