3.1. Три прямые AB, CD и NM пересекаются в точке O (рис. 1). Докажите, что CD ⟂ NM, если: 1) ∠COM = ∠AOC + ∠MOB; 2) ∠AOM = 135°; OB — биссектриса угла MOD. При решении задания необходимо сделать рисунок. Пункты 1) и 2) решать независимо друг от друга.

1) Так как лучи OA и OB — противоположные, сумма углов ∠AOC, ∠COM и ∠MOB равна 180°.

Обозначим ∠AOC = x, ∠COM = y, ∠MOB = z. Тогда x + y + z = 180°, а по условию y = x + z. Значит, 2y = 180°, откуда y = 90°.

Следовательно, ∠COM = 90°. Прямые CD и NM перпендикулярны, поскольку лучи OC и OM лежат на этих прямых.

2) Лучи OA и OB противоположны, поэтому смежные углы ∠AOM и ∠MOB в сумме дают 180°:

∠MOB = 180° − 135° = 45°.

Поскольку OB — биссектриса угла MOD, ∠BOD = ∠MOB = 45°. Тогда ∠MOD = 45° + 45° = 90°. Значит, прямые NM и CD перпендикулярны.