3.17. Дана неплоская замкнутая ломаная из четырёх звеньев; A, B, C, D — середины её последовательных звеньев. Докажите, что: а) AB ∥ CD; б) AD ∥ BC; в) AC и BD пересекаются.

Обозначим вершины ломаной по порядку через P, Q, R, S. Тогда A, B, C, D — середины соответственно PQ, QR, RS, SP.

1. В треугольнике PQR отрезок AB соединяет середины PQ и QR, поэтому по теореме о средней линии AB ∥ PR.
2. В треугольнике PSR отрезок CD соединяет середины PS и SR, поэтому CD ∥ PR. Следовательно, AB ∥ CD.
3. В треугольнике PQS отрезок AD соединяет середины PQ и PS, поэтому AD ∥ QS.
4. В треугольнике QRS отрезок BC соединяет середины QR и RS, поэтому BC ∥ QS. Следовательно, AD ∥ BC.
5. Прямые AB и AD пересекаются в A и задают плоскость. Так как B лежит в этой плоскости, а BC ∥ AD, отрезок BC лежит в той же плоскости. Значит, в ней лежит и точка C. Поэтому диагонали AC и BD компланарны. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, а его диагонали пересекаются.

Ответ: AB ∥ CD; AD ∥ BC; AC и BD пересекаются.