3.18. В пространстве проведены две параллельные прямые и пересекающие их две параллельные плоскости. Докажите, что четыре точки пересечения прямых и плоскостей образуют параллелограмм.

Обозначим прямые через m и n, параллельные плоскости — через α и β. Пусть A = m ∩ α, B = m ∩ β, C = n ∩ β, D = n ∩ α.

1. Отрезки AB и CD лежат соответственно на прямых m и n. Поскольку m ∥ n, имеем AB ∥ CD.
2. Проведём плоскость Π через параллельные прямые m и n. Она пересекает α по прямой AD, а β — по прямой BC. Так как α ∥ β, их линии пересечения с Π параллельны: AD ∥ BC.
3. У четырёхугольника ABCD обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.