3) \( (2\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{6}{7})^3 \)

Решение:

1. Переведём смешанное число \( 2\frac{1}{3} \) в неправильную дробь: \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \).
2. Теперь пример выглядит так: \( (\frac{7}{3})^4 \cdot (\frac{6}{7})^3 \).
3. Применим свойство степени \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) к обеим частям: \( \frac{7^4}{3^4} \cdot \frac{6^3}{7^3} \).
4. Запишем \( 6^3 \) как \( (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 \).
5. Подставим: \( \frac{7^4}{3^4} \cdot \frac{2^3 \cdot 3^3}{7^3} \).
6. Перегруппируем и упростим дроби со одинаковыми основаниями:
7. \( \frac{7^4}{7^3} = 7^{4-3} = 7^1 = 7 \).
8. \( \frac{3^3}{3^4} = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \).
9. Остаётся \( 7 \cdot 2^3 \cdot \frac{1}{3} \).
10. Вычислим \( 2^3 = 8 \).
11. Теперь выражение: \( 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{56}{3} \).
12. Переведём неправильную дробь \( \frac{56}{3} \) в смешанное число: \( 56 \div 3 = 18 \) с остатком \( 2 \). Значит, \( \frac{56}{3} = 18\frac{2}{3} \).

Ответ: \( 18\frac{2}{3} \)