№3 (26). Даны координаты трёх вершин прямоугольника АВСД: В(2; 2), Д(-4;-2), С(2;-2). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты точки А. 3) Найдите координату точки О – пересечения отрезков АС и ВД. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника АВСД.

Решение:

1. Построение прямоугольника:

Отмечаем на координатной плоскости точки В(2; 2), Д(-4;-2), С(2;-2).

Замечаем, что у точек С и Д одинаковая координата Y (-2), значит, отрезок СД параллелен оси ОХ. У точек В и С одинаковая координата X (2), значит, отрезок ВС параллелен оси ОУ. Следовательно, угол ВСД является прямым, что соответствует свойству прямоугольника.

2. Нахождение координат точки А:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, вектор $$\vec{AB}$$ должен быть равен вектору $$\vec{DC}$$.

Координаты вектора $$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (2 - (-4); -2 - (-2)) = (6; 0)$$.

Пусть координаты точки А = (x_A, y_A). Тогда вектор $$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2 - x_A; 2 - y_A)$$.

Приравниваем координаты векторов:

• $$2 - x_A = 6 ightarrow x_A = 2 - 6 = -4$$
• $$2 - y_A = 0 ightarrow y_A = 2$$

Таким образом, координаты точки А: (-4; 2).

Проверим, что $$\vec{AD} = \vec{BC}$$.

$$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (-4 - (-4); -2 - 2) = (0; -4)$$.

$$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (2 - 2; -2 - 2) = (0; -4)$$.

Векторы равны, значит, точка А найдена верно.

3. Нахождение координаты точки О (пересечения диагоналей):

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали ВД (или АС).

Середина диагонали ВД: $$O = \left(\frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2}\right) = \left(\frac{2 + (-4)}{2}; \frac{2 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}; \frac{0}{2}\right) = (-1; 0)$$.

4. Вычисление площади и периметра:

Длина стороны ВС: $$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(2-2)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$$.

Длина стороны СД: $$CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(-4-2)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$$.

Площадь прямоугольника: $$S = BC imes CD = 4 imes 6 = 24$$.

Периметр прямоугольника: $$P = 2 imes (BC + CD) = 2 imes (4 + 6) = 2 imes 10 = 20$$.

Ответ:

• Координаты точки А: (-4; 2).
• Координаты точки О: (-1; 0).
• Площадь прямоугольника АВСД: 24.
• Периметр прямоугольника АВСД: 20.