3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \(2^{3x+6} \le \left(\frac{1}{32}\right)^{x-1}\); 2) \((8-x)(2x+6) \le 0\); 3) \(\log_5(3x+1)< 2\).

Решение:

1. \( 2^{3x+6} \le \left(\frac{1}{32}\right)^{x-1} \)
   Перепишем неравенство, приведя основания к степени 2:
   \[ \frac{1}{32} = 2^{-5} \]
   \[ 2^{3x+6} \le (2^{-5})^{x-1} \]
   \[ 2^{3x+6} \le 2^{-5(x-1)} \]
   \[ 2^{3x+6} \le 2^{-5x+5} \]
   Поскольку основание степени \( 2 > 1 \), неравенство сохраняет знак:
   \[ 3x + 6 \le -5x + 5 \]
   \[ 8x \le -1 \]
   \[ x \le -\frac{1}{8} \]
2. \( (8-x)(2x+6) \le 0 \)
   Это квадратичная функция, ветви которой направлены вниз (из-за \( -x \cdot 2x = -2x^2 \)). Корни параболы:
   \[ 8 - x = 0 \Rightarrow x = 8 \]
   \[ 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3 \]
   Неравенство \( \le 0 \) выполняется вне корней, то есть при \( x \in (-\infty; -3] \cup [8; \infty) \).
3. \( \log_5(3x+1) < 2 \)
   ОДЗ: \( 3x + 1 > 0 \Rightarrow 3x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \).
   Перепишем неравенство, приведя правую часть к логарифму:
   \[ \log_5(3x+1) < \log_5(5^2) \]
   \[ \log_5(3x+1) < \log_5(25) \]
   Поскольку основание логарифма \( 5 > 1 \), неравенство сохраняет знак:
   \[ 3x + 1 < 25 \]
   \[ 3x < 24 \]
   \[ x < 8 \]
   Объединяем с ОДЗ: \( x > -\frac{1}{3} \) и \( x < 8 \).
   Получаем \( -\frac{1}{3} < x < 8 \).

Ответ: 1) \( x \le -\frac{1}{8} \); 2) \( x \in (-\infty; -3] \cup [8; \infty) \); 3) \( -\frac{1}{3} < x < 8 \).