3. (3 балла) Решите неравенство: 1) $$81^{-x} \ge (\frac{1}{9})^{3x+2}$$; 2) $$(x - 4)(3 - 2x) > 0$$

Решение:

1. 1) Решение неравенства:
   Приведём основания степеней к одному виду. \( 81 = 9^2 \) и \( \frac{1}{9} = 9^{-1} \).
   \( (9^2)^{-x} \ge (9^{-1})^{3x+2} \)
   \( 9^{-2x} \ge 9^{-3x-2} \)
   Поскольку основание \( 9 > 1 \), показатели степени сравниваем в том же направлении:
   \( -2x \ge -3x - 2 \)
   \( -2x + 3x \ge -2 \)
   \( x \ge -2 \)
2. 2) Решение неравенства:
   Найдём корни квадратного трёхчлена \( (x - 4)(3 - 2x) = 0 \).
   \( x - 4 = 0 \) или \( 3 - 2x = 0 \)
   \( x = 4 \) или \( 2x = 3 \) → \( x = 1.5 \).
   Получили два интервала: \( (-\infty; 1.5) \), \( (1.5; 4) \), \( (4; \infty) \).
   Определим знак произведения на каждом интервале:
   - На \( (-\infty; 1.5) \): \( (-)(+) = - \) (например, при \( x=0 \): \( (-4)(3) = -12 \))
   - На \( (1.5; 4) \): \( (-)(-) = + \) (например, при \( x=2 \): \( (-2)(3-4) = (-2)(-1) = 2 \))
   - На \( (4; \infty) \): \( (+)(-) = - \) (например, при \( x=5 \): \( (1)(3-10) = (1)(-7) = -7 \))
   Неравенство \( > 0 \) выполняется на интервале \( (1.5; 4) \).

Ответ: 1) \( x \ge -2 \); 2) \( x \in (1.5; 4) \).