3.37. Докажите, что: а) 30 · 40 < 33 · 45 < 40 · 50; б) 100 · 700 < 404 · 732 < 500 · 800; в) 1500 < 36 · 53 < 2400; г) 45000 < 91 · 552 < 59001.

а) Так как 30 < 33 и 40 < 45, то 30 · 40 < 33 · 45. Так как 33 < 40 и 45 < 50, то 33 · 45 < 40 · 50.

б) 100 < 404 и 700 < 732, поэтому 100 · 700 < 404 · 732. Также 404 < 500 и 732 < 800, поэтому 404 · 732 < 500 · 800.

в) 36 · 53 > 30 · 50 = 1500, поскольку 36 > 30 и 53 > 50. Кроме того, 36 · 53 < 40 · 60 = 2400, поскольку 36 < 40 и 53 < 60. Следовательно, 1500 < 36 · 53 < 2400.

г) 91 · 552 > 90 · 500 = 45000, так как 91 > 90 и 552 > 500. А 91 · 552 < 100 · 600 = 60000 само по себе ещё не доказывает требуемую верхнюю границу; используем точное разложение: 91 · 552 = 90 · 552 + 552 = 49680 + 552 = 50232. Значит, 45000 < 50232 < 59001.

Все неравенства доказаны.