3.45. а) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 22 даёт в остатке 14, а при делении на 17 даёт в остатке 9. б) Найдите наибольшее трёхзначное число, которое при делении на 13 даёт в остатке 10, а при делении на 8 даёт в остатке 2.

а) Пусть искомое число равно \(x\). По условию \(x=22k+14\). Подставим это выражение во второе условие: \(22k+14\equiv9\pmod{17}\), откуда \(5k\equiv12\pmod{17}\). Так как \(5\cdot7\equiv1\pmod{17}\), получаем \(k\equiv84\equiv16\pmod{17}\). Наименьшее подходящее неотрицательное \(k\) равно 16, поэтому \(x=22\cdot16+14=366\).

б) Пусть \(x=13k+10\). Условие деления на 8 даёт \(13k+10\equiv2\pmod8\), то есть \(5k\equiv0\pmod8\). Следовательно, \(k\) кратно 8, и числа имеют вид \(x=104m+10\). Наибольшее такое трёхзначное число: при \(m=9\) получаем 946, а при \(m=10\) — 1050, которое уже не трёхзначное.

Ответ: а) 366; б) 946.