3. A₁A₂A₃A₄A₁′A₂′A₃′A₄′ тік призмасының табаны тең бүйірлі трапеция. Трапецияның табандары 4 және 14. Призманың бүйір қыры 5√3. Призманың A₁′A₃ диагоналі табан жазықтығымен 30° бұрыш жасайды. а) Трапецияның бүйір қабырғасы 13 болатынын көрсетіңіз. б) Призманың толық бетінің ауданын табыңыз.

а) Диагональдің табан жазықтығындағы проекциясы — \(A_1A_3\). Диагональ мен табан жазықтығы арасындағы бұрыштан:

\(\tan 30°=\frac{5\sqrt{3}}{A_1A_3}\), сондықтан \(A_1A_3=\frac{5\sqrt{3}}{\tan 30°}=15\).

Тең бүйірлі трапецияның табандарының жарты қосындысы \(\frac{14+4}{2}=9\). Диагональдің ұзындығы бойынша трапеция биіктігі:

\(h=\sqrt{15^2-9^2}=12\).

Табандарының айырмасының жартысы \(\frac{14-4}{2}=5\). Демек, бүйір қабырғасы \(\sqrt{12^2+5^2}=13\).

б) Табан ауданы: \(S_{табан}=\frac{14+4}{2}\cdot12=108\). Табанының периметрі: \(P=14+4+13+13=44\).

Призманың хажуу гадаргуугийн талбай нь суурийн периметрийг хажуу ирмэгээр үржүүлсэнтэй тэнцүү: \(S_{хажуу}=44\cdot5\sqrt{3}=220\sqrt{3}\).

Тэгвэл бүтэн гадаргуугийн талбай: \(S_{бүтэн}=2\cdot108+220\sqrt{3}=216+220\sqrt{3}\).

Жауап: \(216+220\sqrt{3}\) см².