№ 3. ABCD — параллелограмм. Найти BD. На рисунке AD = 5, AB = 3, ∠DAB = 60°; внешний угол между продолжением AD за D и DC равен 60°.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны: \(DC=AB=3\). Угол между лучом, направленным вправо от D по продолжению AD, и DC равен 60°, поэтому внутренний угол \(\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Рассмотрим треугольник ADC и применим теорему косинусов:

\(AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cos120^\circ\).

\(AC^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cdot(- frac12)=49\), значит \(AC=7\).

Для диагоналей параллелограмма выполняется закон параллелограмма: \(AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)\).

\(BD^2=2(3^2+5^2)-7^2=68-49=19\), следовательно, \(BD=\sqrt{19}\).

Ответ: \(BD=\sqrt{19}\).