№3. АВ – диаметр окружности, который пересекает хорду CD в точке Е. Градусная мера дуги АС равна 90°, а градусная мера дуги CBD равна 150°. Найдите угол СЕА.

Решение:

1. Найдем градусную меру дуги AD.

Дуга CBD = дуга CB + дуга BD = 150°.

Так как AB – диаметр, то дуга ADB = 180° и дуга ACB = 180°.

Дуга BD = дуга ADB - дуга AB (если бы мы знали дугу AB, но мы не знаем).

Найдем градусную меру дуги CB. Дуга AC = 90°. Дуга CB = 180° - 90° = 90°.

Тогда дуга CBD = дуга CB + дуга BD = 90° + дуга BD = 150°. Отсюда дуга BD = 150° - 90° = 60°.

2. Найдем градусную меру дуги AD.

Полная окружность = 360°.

Дуга AC + дуга CB + дуга BD + дуга AD = 360°.

90° + 90° + 60° + дуга AD = 360°.

240° + дуга AD = 360°.

Дуга AD = 360° - 240° = 120°.

3. Угол СЕА является углом между пересекающимися хордами CE и AE (AE - часть диаметра AB). Угол СЕА равен полусумме дуг AC и BD.

\[ \angle CEA = \frac{1}{2} (\text{дуга } AC + \text{дуга } BD) \]

\[ \angle CEA = \frac{1}{2} (90^\circ + 60^\circ) = \frac{1}{2} (150^\circ) = 75^\circ \]

Ответ: 75°.