3. АВ и CD – диаметры окружности с центром в точке О. Докажите, что хорды АС и BD равны и параллельны.

Дано:

• Окружность с центром в точке О.
• AB и CD — диаметры.

Доказать:

• $$AC = BD$$
• $$AC ext{ || } BD$$

Доказательство:

1. Равенство хорд ($$AC = BD$$):
   Рассмотрим треугольники $$ riangle AOC$$ и $$ riangle BOD$$.
   
   • $$AO = OC = BO = OD$$ (радиусы окружности).
   • $$ riangle AOC$$ — равнобедренный ($$AO = OC$$).
   • $$ riangle BOD$$ — равнобедренный ($$BO = OD$$).
   • $$ riangle AOC$$ и $$ riangle BOD$$ являются равнобедренными треугольниками с равными углами при вершине О (вертикальные углы, $$ riangle AOC = riangle BOD$$).

   По двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников), $$ riangle AOC = riangle BOD$$.

   Следовательно, $$AC = BD$$ (как соответствующие стороны равных треугольников).

2. Параллельность хорд ($$AC ext{ || } BD$$):
   Рассмотрим треугольники $$ riangle AOD$$ и $$ riangle BOC$$.
   
   • $$AO = OD = BO = OC$$ (радиусы окружности).
   • $$ riangle AOD$$ — равнобедренный ($$AO = OD$$).
   • $$ riangle BOC$$ — равнобедренный ($$BO = OC$$).
   • $$ riangle AOD$$ и $$ riangle BOC$$ являются равнобедренными треугольниками с равными углами при вершине О (вертикальные углы, $$ riangle AOD = riangle BOC$$).

   По двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников), $$ riangle AOD = riangle BOC$$.

   Следовательно, $$AD = BC$$.

   Теперь рассмотрим треугольники $$ riangle ABC$$ и $$ riangle BAD$$.
   

   • $$AB$$ — общая сторона.
   • $$AC = BD$$ (доказано выше).
   • $$BC = AD$$ (доказано выше).

   По трем сторонам (третий признак равенства треугольников), $$ riangle ABC = riangle BAD$$.

   Рассмотрим углы $$ riangle ABC$$ и $$ riangle BAD$$. Угол $$ riangle BAC$$ и угол $$ riangle ABD$$ являются накрест лежащими углами при прямых $$AC$$ и $$BD$$ и секущей $$AB$$. Так как $$ riangle ABC = riangle BAD$$, то $$ riangle BAC = riangle ABD$$.

   Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $$AC ext{ || } BD$$.

Что и требовалось доказать.