3. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6 см.

Решение:

Пусть \( AK \) — биссектриса угла \( A \), \( BL \) — биссектриса угла \( B \). Они пересекаются в точке \( M \) на стороне \( BC \).

Так как \( AB ›› CD \) и \( AD ›› BC \), то \( ∠ BAM = ∠ AMB \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( BC \) и секущей \( AM \)).

Так как \( AM \) — биссектриса \( ∠ A \), то \( ∠ BAM = ∠ MAL \).

Следовательно, \( ∠ AMB = ∠ MAL \). Треугольник \( ABM \) — равнобедренный с \( AB = BM \).

Аналогично, для биссектрисы \( BL \): \( ∠ ABL = ∠ BLC \) (как накрест лежащие). Поскольку \( BL \) — биссектриса \( ∠ B \), то \( ∠ ABL = ∠ LBC \). Следовательно, \( ∠ BLC = ∠ LBC \). Треугольник \( BLC \) — равнобедренный с \( BC = CL \).

Но точка пересечения биссектрис лежит на стороне \( BC \), что означает, что \( M \) и \( L \) — это одна и та же точка. Тогда \( BM = BC \).

Из того, что \( AB = BM \), следует, что \( AB = BC \).

Если \( AB = BC \), то параллелограмм является ромбом.

Дано: \( AB = 6 \) см.

Периметр параллелограмма \( P = 2(AB + BC) \).

Так как \( AB = BC = 6 \) см, то \( P = 2(6 + 6) = 2(12) = 24 \) см.

Ответ: 24 см.