3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Пусть \( ABCD \) — трапеция, \( BC \parallel AD \). \( BC = 12 \) см, \( AD = 20 \) см. Боковая сторона \( AB = 5\sqrt{2} \) см, \( \triangle A = 45^\text{o} \).
2. Опустим высоту \( BH \) из \( B \) на \( AD \). В прямоугольном \( \triangle ABH \) \( \triangle A = 45^\text{o} \), следовательно \( \triangle ABH = 45^\text{o} \).
3. \( BH = AB \times \text{sin } 45^\text{o} = 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \) см. \( AH = AB \times \text{cos } 45^\text{o} = 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \) см.
4. Высота трапеции \( h = BH = 5 \) см.
5. Площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \times h = \frac{12+20}{2} \times 5 = \frac{32}{2} \times 5 = 16 \times 5 = 80 \) см².

Ответ: 80 см².