3. Из точки К к окружности с центром О проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках М и N. Найдите отрезки КМ и KN, если ОК = 12 см, ∠MON = 120°.

Решение:

1. \( OM ⊥ KM \) и \( ON ⊥ KN \) как радиусы, проведённые в точки касания. \( \triangle OMK \) и \( \triangle ONK \) — прямоугольные треугольники.
2. \( OK = 12 \) см, \( \triangle MON = 120^\text{o} \).
3. В \( \triangle OMK \) и \( \triangle ONK \) \( OM = ON \) (радиусы), \( OK \) — общая гипотенуза. Треугольники равны по гипотенузе и катету (радиусу).
4. \( \triangle MON \) — равнобедренный, \( OM = ON \). \( \triangle OKM \) и \( \triangle OKN \) равны. \( \triangle OKM = \triangle OKN = \frac{1}{2} \triangle MON = \frac{120^\text{o}}{2} = 60^\text{o} \).
5. В прямоугольном \( \triangle OMK \): \( KM = OK \times \text{sin } \triangle OKM = 12 \times \text{sin } 60^\text{o} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
6. \( KN = KM = 6\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( KM = KN = 6\sqrt{3} \) см.