№3. Часы испытывают на точность с помощью специального теста, в ходе которого определяется ошибка измерения времени (в секундах на протяжении суток) при разной температуре, влажности и в разных положениях механизма. Часы получают сертификат точности, если размах ошибки меньше 5,5 секунды за сутки, а дисперсия меньше 3. Если средняя ошибка превышает 2 секунды, то часы нуждаются в регулировке. В таблице даны результаты пяти испытаний одного часового механизма. Найдите среднюю ошибку, размах и дисперсию ошибки. Получат ли эти часы сертификат точности, или они нуждаются в регулировке?

Решение:

Данные испытаний (ошибки в секундах): -0,4; -0,9; 1,6; 4,1; 3,6.

1) Средняя ошибка:

• Сумма ошибок: -0,4 + (-0,9) + 1,6 + 4,1 + 3,6 = 8.
• Количество испытаний: 5.
• Средняя ошибка = Сумма ошибок / Количество испытаний = 8 / 5 = 1,6 секунды.

2) Размах ошибки:

• Максимальная ошибка: 4,1 секунды.
• Минимальная ошибка: -0,9 секунды.
• Размах ошибки = Максимальная ошибка - Минимальная ошибка = 4,1 - (-0,9) = 4,1 + 0,9 = 5,0 секунд.

3) Дисперсия ошибки:

Дисперсия ($$s^2$$) вычисляется по формуле: $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$, где $$x_i$$ — каждое значение, $$\bar{x}$$ — средняя ошибка, $$n$$ — количество испытаний.

• Средняя ошибка $$\bar{x} = 1,6$$.
• $$(x_1 - \bar{x})^2 = (-0,4 - 1,6)^2 = (-2,0)^2 = 4,0$$.
• $$(x_2 - \bar{x})^2 = (-0,9 - 1,6)^2 = (-2,5)^2 = 6,25$$.
• $$(x_3 - \bar{x})^2 = (1,6 - 1,6)^2 = (0,0)^2 = 0,0$$.
• $$(x_4 - \bar{x})^2 = (4,1 - 1,6)^2 = (2,5)^2 = 6,25$$.
• $$(x_5 - \bar{x})^2 = (3,6 - 1,6)^2 = (2,0)^2 = 4,0$$.
• Сумма квадратов отклонений: 4,0 + 6,25 + 0,0 + 6,25 + 4,0 = 20,5.
• Дисперсия $$s^2 = \frac{20,5}{5-1} = \frac{20,5}{4} = 5,125$$.

Анализ результатов:

• Средняя ошибка: 1,6 секунды. (Меньше 2 секунд, хорошо).
• Размах ошибки: 5,0 секунд. (Меньше 5,5 секунд, хорошо).
• Дисперсия ошибки: 5,125. (Больше 3, плохо).

Вывод:

• Часы не получат сертификат точности, так как дисперсия ошибки (5,125) превышает допустимое значение (3).
• Средняя ошибка (1,6 с) меньше 2 секунд, поэтому они не нуждаются в регулировке по этому критерию.
• Однако, для получения сертификата, все три условия (средняя ошибка < 2, размах < 5.5, дисперсия < 3) должны быть выполнены.

Ответ:

1) Средняя ошибка: 1,6 секунды.

2) Размах ошибки: 5,0 секунд.

3) Дисперсия ошибки: 5,125.

Эти часы не получат сертификат точности, так как дисперсия превышает допустимое значение.