3. Через вершину В треугольника АВС, в котором AB = BC = 6 см, АС = 8 см, проведён перпендикуляр МВ к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями АВС и АМС, если МВ = 2√15 см.

Решение:

Так как \( AB = BC = 6 \) см, треугольник \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому \( AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Найдем высоту BH по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \( \triangle BHC \):

\( BH^2 = BC^2 - HC^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 \) см².

\( BH = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) см.

MB — перпендикуляр к плоскости \( \triangle ABC \), \( MB = 2\sqrt{15} \) см.

Угол между плоскостями \( \triangle ABC \) и \( \triangle AMC \) — это линейный угол двугранного угла. Для его нахождения проведем линию, перпендикулярную линии пересечения плоскостей (AC) в каждой из плоскостей. BH перпендикулярна AC в плоскости \( \triangle ABC \).

Теперь нужно найти линию в плоскости \( \triangle AMC \), которая перпендикулярна AC. Так как \( MB \perp \triangle ABC \), то \( MB \perp AC \). Рассматриваем прямоугольные треугольники \( \triangle MBA \) и \( \triangle MBC \).

\( MA^2 = MB^2 + AB^2 = (2\sqrt{15})^2 + 6^2 = (4 \cdot 15) + 36 = 60 + 36 = 96 \) см².

\( MC^2 = MB^2 + BC^2 = (2\sqrt{15})^2 + 6^2 = (4 \cdot 15) + 36 = 60 + 36 = 96 \) см².

Значит, \( MA = MC = \sqrt{96} \) см. Треугольник \( \triangle AMC \) — равнобедренный.

Проведем высоту MH из вершины M к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому H — середина AC.

Найдем высоту MH по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \( \triangle MHC \):

\( MH^2 = MC^2 - HC^2 = 96 - 4^2 = 96 - 16 = 80 \) см².

\( MH = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \) см.

Линейный угол искомого двугранного угла — это \( \angle MHA \) (или \( \angle MHC \)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle MBH \). Мы знаем катеты MB и BH.

\( MB = 2\sqrt{15} \) см.

\( BH = 2\sqrt{5} \) см.

Найдем тангенс угла \( \angle MBH \), который является искомым углом между плоскостями, так как \( MB \perp AC \) и \( MH \perp AC \) (а \( MH \) лежит в плоскости \( \triangle AMC \)).

\( \tan(\angle MBH) = \frac{MH}{MB} = \frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Угол, тангенс которого равен \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \), не является табличным. Часто в таких задачах угол между плоскостями является \( \angle MHA \) (или \( \angle MHC \)). Давайте найдем \( \cos(\angle MHA) \) в \( \triangle MHA \).

\( \cos(\angle MHA) = \frac{AH}{MA} = \frac{4}{\sqrt{96}} = \frac{4}{4\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \). Этот угол тоже не табличный.

Вернемся к \( \triangle MBH \). Угол между плоскостями — это угол \( \angle MHB \) (или \( \angle MHA \)) в треугольнике \( \triangle MBH \), где \( \angle MBH = 90^{\circ} \).

Угол между плоскостями — это угол \( \angle MHB \).

Найдем \( \tan(\angle MHB) = \frac{MB}{BH} = \frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3} \).

Следовательно, \( \angle MHB = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.