5. Боковые грани DAB и DAC пирамиды DABC перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ∠ACB = 90°, AC = 8 см, BC = 6 см, а расстояние от точки Д до прямой ВС равно 17 см.

Решение:

Пирамида DABC. Основание — прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) (так как \( \angle ACB = 90^{\circ} \)).

Катеты основания: \( AC = 8 \) см, \( BC = 6 \) см.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \) см².

\( AB = \sqrt{100} = 10 \) см.

Боковые грани \( \triangle DAB \) и \( \triangle DAC \) перпендикулярны плоскости основания \( \triangle ABC \).

Расстояние от точки D до прямой BC равно 17 см. Поскольку \( \triangle DAC \) перпендикулярна основанию, и \( AC \perp BC \), то расстояние от D до BC — это длина перпендикуляра, опущенного из D на BC. Это следует из теоремы о трех перпендикулярах. Если \( DO \perp ABC \), то \( DO \perp BC \).

Однако, дано, что \( \triangle DAB \) и \( \triangle DAC \) перпендикулярны основанию. Это означает, что высота пирамиды лежит в пересечении этих плоскостей, то есть на прямой DA. Значит, DA перпендикулярна плоскости основания \( \triangle ABC \).

\( DA \perp AC \) и \( DA \perp AB \) (по теореме о трех перпендикулярах, если \( DA \perp ABC \), и \( AC \perp BC \), то \( DC \perp BC \)).

Дано, что расстояние от точки D до прямой BC равно 17 см. Так как \( DA \perp BC \) (поскольку \( DA \perp ABC \)), то \( DA = 17 \) см.

Найдем площади боковых граней:

1. Площадь грани \( \triangle DAC \): \( S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DA \) (так как \( DA \perp AC \)).

\( S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68 \) см².

2. Площадь грани \( \triangle DAB \): \( S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DA \) (так как \( DA \perp AB \)).

\( S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 17 = 5 \cdot 17 = 85 \) см².

3. Площадь грани \( \triangle DBC \):

В плоскости \( \triangle DAC \) проведем перпендикуляр из D на AC, это DA. В плоскости \( \triangle ABC \) проведем перпендикуляр из C на BC, это AC. Угол \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Из условия, \( \triangle DAB \) и \( \triangle DAC \) перпендикулярны плоскости основания. Это значит, что высота пирамиды лежит на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой DA. Следовательно, \( DA \perp ABC \).

По теореме о трех перпендикулярах: если \( DA \perp ABC \) и \( AC \perp BC \), то \( DC \perp BC \). Таким образом, \( \triangle DBC \) — прямоугольный с прямым углом C.

Найдем длину DC:

\( DC^2 = DA^2 + AC^2 = 17^2 + 8^2 = 289 + 64 = 353 \) см².

\( DC = \sqrt{353} \) см.

Площадь грани \( \triangle DBC \): \( S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC \) (так как \( DC \perp BC \)).

\( S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{353} = 3\sqrt{353} \) см².

Площадь боковой поверхности пирамиды — сумма площадей боковых граней:

\( S_{бок} = S_{DAC} + S_{DAB} + S_{DBC} \)

\( S_{бок} = 68 + 85 + 3\sqrt{353} = 153 + 3\sqrt{353} \) см².

Ответ: \( 153 + 3\sqrt{353} \) см².