3. Четыре прямые разбивают плоскость на части, в трёх из них отмечены по одной точке (см. рис.). Относительно каждой прямой выбрали ту полуплоскость, в которой находится ровно 2 отмеченные точки. а) Сколько частей плоскости содержится ровно в одной из выбранных полуплоскостей? б) Отметьте на плоскости ещё 2 точки так, чтобы в каждой выбранной по условию полуплоскости отмеченных точек было ровно 3.

а) По рисунку выбранные полуплоскости такие: справа от левой вертикальной прямой, слева от правой вертикальной прямой, выше каждой из двух наклонных прямых. У каждой из четырёх прямых ровно по одной точке на выбранной стороне — внутри каждой такой полуплоскости две из исходных точек.

Прямые делят плоскость на четыре вертикальные полосы и секторы между наклонными прямыми. Подсчёт выбранных полуплоскостей для секторов даёт ровно по одной в четырёх частях: по одной части слева и справа от вертикальных прямых, а также по одной в каждой из двух полос между вертикальными прямыми и точкой пересечения наклонных прямых.

Ответ: 4 части.

б) Каждая из четырёх выбранных полуплоскостей должна получить по одной дополнительной точке. Для этого одну точку поместим в их общее пересечение — между вертикальными прямыми и выше обеих наклонных. Вторую отметим вне всех четырёх выбранных полуплоскостей: левее левой вертикальной прямой и ниже обеих наклонных. Первая точка добавляет по одной точке во все выбранные полуплоскости, вторая не добавляет ни одной.