Контрольные задания
Вопрос:

3. Дан равнобедренный ╠​ABC, BD - биссектриса (рис 3). Доказать: ╠​ ABO = ╠​ OBC. Найдите AB, если ∠ A = 60°, AO = 8 см

Фото задания: 3. Дан равнобедренный ╠​ABC, BD - биссектриса (рис 3). Доказать: ╠​ ABO = ╠​ OBC. Найдите AB, если ∠ A = 60°, AO = 8 смФото задания

Ответ:

Решение:

1. Доказательство:

Дано: ╠​ABC - равнобедренный, BD - биссектриса.

Доказать: ╠​ ABO = ╠​ OBC.

Доказательство:

  1. Так как ╠​ABC - равнобедренный, то ∠ BAC = ∠ BCA.
  2. BD - биссектриса, значит ╠​ ABD = ╠​ DBC.
  3. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой. Если AC - основание, то BD - биссектриса, медиана и высота. Тогда D - середина AC, и AD = DC. Также BD ⊥ AC, значит ╠​ ADB = ╠​ CDB = 90°.
  4. Рассмотрим ╠​ ABO и ╠​ CBO.
    • ∠ BAO = ∠ BCO (углы при основании равнобедренного ╠​ABC).
    • BO - общая сторона.
    • ∠ ABO = ∠ CBO (так как BD - биссектриса).
  5. По первому признаку равенства треугольников (∠, сторона, ∠), ╠​ ABO = ╠​ CBO.

2. Нахождение AB:

Дано: ╠​ABC - равнобедренный, BD - биссектриса, ∠ A = 60°, AO = 8 см.

Найти: AB.

Решение:

  1. В ╠​ABC: ∠ A = 60°. Так как ╠​ABC равнобедренный, ∠ C = ∠ A = 60°.
  2. Сумма углов в ╠​ABC: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
  3. 60° + ∠ B + 60° = 180°.
  4. ∠ B = 180° - 120° = 60°.
  5. Так как все углы равны 60°, ╠​ABC - равносторонний треугольник.
  6. Следовательно, все стороны равны: AB = BC = AC.
  7. BD - биссектриса, медиана и высота. Точка D является серединой AC.
  8. AC = AO + OC. Если BD - медиана, то D - середина AC, следовательно AO = OC = 8 см.
  9. AC = 8 см + 8 см = 16 см.
  10. Так как ╠​ABC - равносторонний, AB = AC = 16 см.

Ответ: AB = 16 см.