№3. Дана куб ABCD A₁B₁C₁D₁. Докажите, что сечение куба плоскостью A₁B₁K — параллелограмм.

По рисунку точка K лежит на ребре DC. Сечение проходит через ребро A₁B₁ верхней грани и точку K.

1. Плоскость (A₁B₁K) пересекает нижнюю грань ABCD по прямой, проходящей через K.
2. Так как A₁B₁ ∥ AB, а AB ∥ DC, то прямая DC имеет направление, параллельное A₁B₁. Поскольку K ∈ DC, прямая пересечения плоскости с нижней гранью — DC.
3. Боковые грани куба дают в сечении отрезки A₁D и B₁C. Противоположные рёбра куба параллельны, следовательно, A₁D ∥ B₁C.
4. Также A₁B₁ ∥ DC. Значит, четырёхугольник A₁B₁CD имеет две пары параллельных противоположных сторон.

Ответ: сечение A₁B₁CD — параллелограмм.