№5. Творческое задание. Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

Задача 1. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ точка M лежит на ребре AA₁, точка N — на ребре CC₁. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, D и M.

Решение. Точки B и D принадлежат нижней грани ABCD, поэтому BD — след секущей плоскости на этой грани. Продлите BD до пересечения с рёбрами AA₁ и CC₁ в соответствующих боковых гранях; соедините точки пересечения со следом плоскости. Для однозначного положения M необходимо отметить его на AA₁: тогда сечение содержит M и B, а след на грани ABB₁A₁ — отрезок BM. На противоположной грани проведите через D прямую, параллельную BM; она пересечёт CC₁ в точке N. Искомое сечение — четырёхугольник BMDN.

Задача 2. В треугольной призме ABС A₁B₁C₁ точка P лежит на ребре AA₁, а точка Q — на ребре BB₁. Постройте сечение плоскостью, проходящей через P, Q и вершину C.

Решение. На боковой грани ABB₁A₁ след секущей плоскости — отрезок PQ. На основании ABC проведите прямую через C и точку пересечения продолжения PQ с прямой AB; её пересечение с рёбрами основания определяет дальнейшие вершины сечения. На боковых гранях продолжите след через найденные точки, пока сечение не замкнётся. В зависимости от положения P и Q сечение может пересекать разные рёбра; рисунок с точным расположением P и Q нужен для указания конкретного многоугольника.