3. Дана окружность с центром О, РМ – диаметр, OL – радиус, ∠LPO = 18°. Найдите ∠LOM, ∠LOP.

Решение:

Дано: окружность с центром О, РМ – диаметр, OL – радиус, \( \angle LPO = 18^{\circ} \).

Найти: \( \angle LOM \), \( \angle LOP \).

1. \( \angle LOP \): Угол \( \angle LPO \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( LO \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( \angle LOM \). Но в условии дано \( \angle LPO = 18^{\circ} \), где \( PO \) — радиус, \( L \) — точка на окружности, \( P \) — точка на окружности. Треугольник \( \triangle LPO \) равнобедренный, так как \( OL = OP \) (радиусы). Поэтому \( \angle OLP = \angle LPO = 18^{\circ} \).
2. Сумма углов в \( \triangle LPO \): \( \angle LOM \) - это центральный угол. Ошибка в формулировке. \( LPO \) - это угол треугольника \( \triangle LPO \). \( OP = OL = R \). \( \angle LPO = 18^{\circ} \). Так как \( OP = OL \), то \( \triangle LPO \) равнобедренный, и \( \angle OLP = \angle LPO = 18^{\circ} \).
3. Центральный угол \( \angle LOM \) опирается на дугу \( LM \). Угол \( \angle LPO \) не связан напрямую с \( \angle LOM \) или \( \angle LOP \) в данном контексте.
4. Возможно, \( L \) — точка на окружности, \( P \) — точка на окружности, \( M \) — точка на окружности. \( OL \) и \( OP \) — радиусы. \( \angle LPO = 18^{\circ} \). Тогда \( \triangle LPO \) равнобедренный, \( OL = OP \), \( \angle OLP = 18^{\circ} \). Центральный угол, опирающийся на дугу \( LP \), равен \( \angle LOP \). Сумма углов в \( \triangle LPO \) равна 180°. \( \angle LOP = 180^{\circ} - (\angle OLP + \angle LPO) = 180^{\circ} - (18^{\circ} + 18^{\circ}) = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ} \).
5. \( \angle LOM \): \( PM \) — диаметр. \( \angle LOM \) и \( \angle LOP \) — это смежные или центральные углы. Если \( L \) лежит на окружности, \( M \) и \( P \) — точки на окружности. \( PM \) — диаметр. \( \angle LOP = 144^{\circ} \). Тогда \( \angle LOM \) и \( \angle LOP \) являются смежными углами, если \( P, O, M \) лежат на одной прямой. \( \angle POM \) — развёрнутый угол, \( 180^{\circ} \). \( \angle LOM + \angle LOP = 180^{\circ} \) (если \( L \) находится между \( P \) и \( M \) на дуге).
6. \( \angle LOM = 180^{\circ} - \angle LOP = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ} \).

Ответ: \( \angle LOM = 36^{\circ} \), \( \angle LOP = 144^{\circ} \).