5. В окружности с центром О проведены диаметр КВ и хорды ВС и BD так, что ∠BOC = ∠BOD. Докажите, что ВС = BD.

Доказательство:

Дано: окружность с центром О, диаметр КВ, хорды ВС и BD, \( \angle BOC = \angle BOD \).

Доказать: \( BC = BD \).

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle BOD \).
2. \( OB \) — общая сторона для обоих треугольников.
3. \( OC \) и \( OD \) — радиусы окружности, поэтому \( OC = OD \).
4. По условию, \( \angle BOC = \angle BOD \).
5. Таким образом, \( \triangle BOC \) и \( \triangle BOD \) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( BC = BD \).

Что и требовалось доказать.