3. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁, B₁.

Площадь треугольника основания ABC равна половине площади квадратного основания:

\(S_{ABC}=\frac{6}{2}=3\).

На высоте \(h\) сечения многогранника параллельны основанию. При движении от нижнего основания к верхнему площадь сечения изменяется от \(3\) до \(0\) по закону, соответствующему усечённой треугольной призме. Интегрирование площади сечений даёт объём, равный \(\frac{5}{6}\) произведения площади треугольника ABC на высоту:

\(V=\frac{5}{6}\cdot 3\cdot 7=\frac{35}{2}=17.5\).

Ответ: 17,5