Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью p = 0,8 на…Фото задания

Ответ:

Решение:

Пусть \(a_0 = 0\) — первый член последовательности. Каждый следующий член \(a_{n+1}\) определяется следующим образом:

  • С вероятностью \( p = 0,8 \) : \( a_{n+1} = a_n + 1 \)
  • С вероятностью \( 1 - p = 0,2 \) : \( a_{n+1} = a_n - 1 \)

Нам нужно найти вероятность того, что какой-то член последовательности окажется равен \(-1\).

Рассмотрим возможные значения членов последовательности:

  • \(a_0 = 0\)
  • \(a_1\) может быть \(0 + 1 = 1\) (с вероятностью 0,8) или \(0 - 1 = -1\) (с вероятностью 0,2).

Мы видим, что уже на первом шаге (при \(n=1\)) есть ненулевая вероятность получения значения \(-1\).

Вероятность того, что \(a_1 = -1\) равна \(1 - p = 0,2\).

Если \(a_1 = 1\) (с вероятностью 0,8), то \(a_2\) может быть \(1 + 1 = 2\) (с вероятностью \(0,8 \times 0,8 = 0,64\)) или \(1 - 1 = 0\) (с вероятностью \(0,8 \times 0,2 = 0,16\)).

Далее, если \(a_2 = 0\) (с вероятностью 0,16), то \(a_3\) может быть \(0 + 1 = 1\) (с вероятностью \(0,16 \times 0,8 = 0,128\)) или \(0 - 1 = -1\) (с вероятностью \(0,16 \times 0,2 = 0,032\)).

Таким образом, член \(-1\) может быть получен как \(a_1\), так и \(a_3\) и т.д. Однако, нас интересует вероятность того, что *какой-то* член окажется равен \(-1\). Это событие произойдёт, если \(a_1 = -1\) ИЛИ ( \(a_1 = 1\) И \(a_2 = 0\) И \(a_3 = -1\) ) ИЛИ ...

Проще рассмотреть эту задачу как случай блуждания. Начальное положение — 0. Нас интересует вероятность достичь -1.

Событие "какой-то член последовательности окажется равен -1" произойдет, если мы хотя бы один раз сделаем шаг вниз (с вероятностью \(1-p\)).

Вероятность того, что мы *никогда* не достигнем -1, означает, что все шаги будут вверх (или мы вернемся к 0, но не уйдем в отрицательную область). Однако, так как мы начинаем с 0, первый отрицательный шаг сразу приведет нас к -1.

Таким образом, вероятность того, что какой-то член окажется равен -1, равна вероятности первого шага вниз, то есть \(1-p\).

Ответ: 0,2.