3. Дано: ABCD — прямоугольник; ∠ADB : ∠CDB = 4 : 5. Найти углы треугольника AOB.

Угол ADC прямоугольника равен 90°. Пусть ∠ADB = 4x, а ∠CDB = 5x. Тогда 4x + 5x = 90°, откуда x = 10°. Значит, ∠ADB = 40°, ∠CDB = 50°.

В треугольнике ADB угол DAB равен 90°, поэтому ∠ABD = 180° − 90° − 40° = 50°. Так как O лежит на диагонали BD, ∠ABO = 50°.

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому AO = BO. Треугольник AOB равнобедренный, следовательно, ∠BAO = ∠ABO = 50°. Тогда ∠AOB = 180° − 50° − 50° = 80°.

Ответ: ∠BAO = 50°, ∠ABO = 50°, ∠AOB = 80°.