3. Дано: ABCM — трапеция, AM = 7. Найти: CM. На рисунке BC = 5, ∠A = ∠M = 60°, AB = CM; BK и CP перпендикулярны AM.

Так как BC ∥ AM, а BK и CP перпендикулярны AM, четырёхугольник BKPC — прямоугольник. Следовательно, KP = BC = 5.

Прямоугольные треугольники ABK и CPM имеют равные гипотенузы AB = CM и равные острые углы (∠A = ∠M = 60°), поэтому они равны. Значит, AK = PM.

По разбиению основания AM: AM = AK + KP + PM. Тогда AK + PM = 7 − 5 = 2, а из равенства AK = PM получаем PM = 1.

В прямоугольном треугольнике CPM угол M равен 60°, а прилежащий катет PM = 1. Поэтому cos 60° = PM / CM, откуда CM = 1 / cos 60° = 2.

Ответ: CM = 2.