3. Дано: ABCM — трапеция. AM = 7. Найти: CM. На рисунке BC = 5, AB = CM, ∠A = ∠M = 60°, BK ⟂ AM и CP ⟂ AM.

Так как BK и CP перпендикулярны AM, а BC ∥ AM, четырёхугольник BKCP — прямоугольник. Поэтому KP = BC = 5.

Боковые стороны трапеции равны (AB = CM), значит, она равнобедренная, и отрезки у оснований равны: AK = PM. Пусть AK = PM = x. Тогда:

AM = AK + KP + PM, поэтому 7 = x + 5 + x.

Отсюда 2x = 2 и PM = 1.

В прямоугольном треугольнике CPM угол M равен 60°, а CM — гипотенуза. Следовательно, cos 60° = PM / CM, откуда CM = 1 / cos 60° = 2.

Ответ: CM = 2.