3. Дано: AMCN — параллелограмм; OM = MB, ON = ND. Доказать: ABCD — параллелограмм.

Так как AMCN — параллелограмм, его диагонали AC и MN пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Следовательно, \(OM=ON\), а точки M, O и N лежат на одной прямой.

По условию \(OM=MB\), значит, M является серединой отрезка BO.

Также \(ON=ND\), значит, N является серединой отрезка OD.

Поскольку O — середина отрезка MN, на прямой MN точки расположены так, что равные отрезки по обе стороны от O образуют пары:

\(OM=ON\), \(MB=OM\), \(ND=ON\).

Следовательно, \(OB=OD\), то есть O — середина диагонали BD.

Из свойств параллелограмма AMCN уже известно, что O — середина диагонали AC.

Итак, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются и делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.