3. Дано: MABC - пирамида. AC = BC. ∠C = 90°; MK ⊥ AB. AB = 10; MC = 12. MC ⊥ (ABC). Найти: MK.

Решение:

1. Анализ условия:

   Пирамида MABC. Основание ∆ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник (AC=BC, ∠C=90°). MC — высота пирамиды (MC ⊥ (ABC)). MK ⊥ AB.

2. Находим длину AB:

   В прямоугольном ∆ABC по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC². Так как AC=BC, то AB² = 2 * AC². Нам дано AB=10, следовательно, 10² = 2 * AC², 100 = 2 * AC², AC² = 50, AC = √50 = 5√2.

3. Находим длину MK:

   Рассмотрим ∆MCK. MC ⊥ (ABC), следовательно, MC ⊥ CK, где CK — проекция MC на плоскость основания.

   Так как MC ⊥ (ABC), то MC перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC, проходящей через C. Например, MC ⊥ CK.

   MK — гипотенуза в прямоугольном треугольнике ∆MCK, где ∠MCK = 90°.

   По теореме Пифагора: MK² = MC² + CK².

   Нам дано MC = 12. Осталось найти CK.

4. Находим CK:

   MK ⊥ AB. Рассмотрим ∆ABC. AC = BC = 5√2, AB = 10. MK — высота, проведенная к стороне AB в некотором треугольнике. Однако, MK — высота из M к AB.

   Рассмотрим ∆ABC. Проведем высоту CK из вершины C к гипотенузе AB. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. CK = AB/2.

   CK = 10/2 = 5.

5. Вычисляем MK:

   Теперь у нас есть все для вычисления MK:

   MK² = MC² + CK²

   MK² = 12² + 5²

   MK² = 144 + 25

   MK² = 169

   MK = √169 = 13.

Ответ: 13