Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Дано: \(\vec a=(1;-3;-5)\), \(\vec b=(0;2;3)\), \(\vec c=(-1;0;-2)\), \(\vec d=(-1;2;0)\). Найти: 1) 2b; −3d; 2) b + c; 3)…Фото задания

Ответ:

  1. Умножаем каждую координату на число: \(2\vec b=(0;4;6)\); \(-3\vec d=(3;-6;0)\).

  2. Складываем соответствующие координаты: \(\vec b+\vec c=(0+(-1);\,2+0;\,3+(-2))=(-1;2;1)\).

  3. Вычитаем соответствующие координаты: \(\vec a-\vec d=(1-(-1);\,-3-2;\,-5-0)=(2;-5;-5)\).

  4. \(|\vec a|=\sqrt{1^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}\); \(|\vec b|=\sqrt{0^2+2^2+3^2}=\sqrt{13}\).

  5. Используем формулу косинуса угла между векторами: \(\cos(\vec b,\vec d)=\frac{\vec b\cdot\vec d}{|\vec b||\vec d|}\). Скалярное произведение равно \(0\cdot(-1)+2\cdot2+3\cdot0=4\), а \(|\vec d|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt5\). Поэтому \(\cos(\vec b,\vec d)=\frac{4}{\sqrt{13}\sqrt5}=\frac{4}{\sqrt{65}}\).

  6. \(3\vec c-2\vec d=3(-1;0;-2)-2(-1;2;0)=(-3;0;-6)-(-2;4;0)=(-1;-4;-6)\).

  7. \(\vec c\cdot\vec a=(-1)\cdot1+0\cdot(-3)+(-2)\cdot(-5)=9\). Поскольку \(|\vec c|=\sqrt5\), получаем \(\cos(\vec c,\vec a)=\frac{9}{\sqrt5\sqrt{35}}=\frac{9}{5\sqrt7}\).

Ответ: 1) \((0;4;6)\), \((3;-6;0)\); 2) \((-1;2;1)\); 3) \((2;-5;-5)\); 4) \(\sqrt{35}\), \(\sqrt{13}\); 5) \(\frac{4}{\sqrt{65}}\); 6) \((-1;-4;-6)\); 7) \(\frac{9}{5\sqrt7}\).