3. Даны две стороны треугольника: b = 176√3, c = 169, и угол γ = 30°, прилежащий к стороне b. Найдите третью сторону a.

Угол γ расположен между сторонами a и b, а сторона c ему противоположна. По теореме косинусов:

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\).

Подставим данные и используем \(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\):

\(169^2=a^2+(176\sqrt3)^2-2a\cdot176\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\).

После упрощения получаем квадратное уравнение:

\(a^2-528a+64367=0\).

Дискриминант: \(D=528^2-4\cdot64367=14236=4\cdot3559\). Поэтому

\(a=\dfrac{528\pm2\sqrt{3559}}{2}=264\pm\sqrt{3559}\).

Оба корня положительны, поэтому возможны два треугольника.

Ответ: \(a=264-\sqrt{3559}\) или \(a=264+\sqrt{3559}\).