№ 3. Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см.

Решение:

Пусть касательные из точки М к окружности касаются окружности в точках A и B. Тогда OA ⊥ MA и OB ⊥ MB, то есть треугольники OMA и OMB — прямоугольные.

В прямоугольном треугольнике OMA:

• OA = 5 см (радиус)
• OM = 10 см (по условию)

Мы можем найти синус угла ∠OMA:

• \[ \sin(\angle OMA) = \frac{OA}{OM} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Следовательно, угол ∠OMA = 30°.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике OMB, ∠OMB = 30°.

Угол между касательными ∠AMB равен сумме углов ∠OMA и ∠OMB:

• \[ \angle AMB = \angle OMA + \angle OMB = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

Ответ: 60°