3. Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1 точки О и 01 точки пересечения высот этих треугольников, причем ОА= 01A1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) — равносторонние. \( O \) — точка пересечения высот \( \triangle ABC \) (центр, он же ортоцентр, инцентр, центр описанной и вписанной окружностей). \( O_1 \) — точка пересечения высот \( \triangle A_1B_1C_1 \). \( OA = O_1A_1 \).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) (т.е. они равны).

Доказательство:

1. В равностороннем треугольнике точка пересечения высот \( O \) является также центром описанной окружности.
2. \( OA \) — это радиус описанной окружности \( R \) для \( \triangle ABC \).
3. \( O_1A_1 \) — это радиус описанной окружности \( R_1 \) для \( \triangle A_1B_1C_1 \).
4. По условию \( OA = O_1A_1 \), значит \( R = R_1 \).
5. Радиус описанной окружности \( R \) равностороннего треугольника со стороной \( a \) находится по формуле: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
6. Тогда \( R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} \), где \( a_1 \) — сторона \( \triangle A_1B_1C_1 \).
7. Так как \( R = R_1 \), то \( \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a_1}{\sqrt{3}} \), откуда следует \( a = a_1 \).
8. Равносторонние треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) имеют равные стороны \( a = a_1 \).
9. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по трём сторонам (или по признаку равенства равносторонних треугольников, у которых равны стороны).

Что и требовалось доказать.