4. Треугольник АВС равносторонний. АС – основание. Точки K, L, M- середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Докажите, что треугольники АКМ и MLC равны.

Решение:

Так как треугольник АВС равносторонний, то все его стороны равны: AB = BC = AC, и все углы равны 60°: \( \angle A = \angle B = \angle C = 60° \).

K, L, M — середины сторон AB, BC, AC соответственно.

Значит:

• AK = KB = \( \frac{1}{2} \) AB
• BL = LC = \( \frac{1}{2} \) BC
• AM = MC = \( \frac{1}{2} \) AC

Так как AB = BC = AC, то AK = BL = MC и KB = LC = AM.

Рассмотрим треугольник АКМ:

• AK = \( \frac{1}{2} \) AB
• AM = \( \frac{1}{2} \) AC
• \( \angle A = 60° \)

По двум сторонам и углу между ними (стороны AK и AM, угол A), треугольники АКМ и MLC равны.

Рассмотрим треугольник MLC:

• MC = \( \frac{1}{2} \) AC
• LC = \( \frac{1}{2} \) BC
• \( \angle C = 60° \)

Так как AB = AC, то AK = \( \frac{1}{2} \) AB = \( \frac{1}{2} \) AC. Также MC = \( \frac{1}{2} \) AC.

Таким образом, AK = MC.

Кроме того, AM = MC (по условию, M — середина AC), а LC = BL = \( \frac{1}{2} \) BC.

Рассмотрим треугольники АКМ и MLC:

• AK = MC (так как \( AK = \frac{1}{2} AB \) и \( MC = \frac{1}{2} AC \), а \( AB=AC \)).
• AM = LC (так как \( AM = \frac{1}{2} AC \) и \( LC = \frac{1}{2} BC \), а \( AC=BC \)).
• \( \angle A = \angle C = 60° \).

По двум сторонам и углу между ними, треугольники АКМ и MLC равны.

Ответ: Треугольники АКМ и MLC равны по двум сторонам и углу между ними.