3. Даны точки А (-1; 5; 3) В (7; -1; 3) С (3; −2; 6). Доказать, что ДАВС – прямоугольный.

1. Найдем векторы сторон треугольника:

AB = B - A = (7 - (-1), -1 - 5, 3 - 3) = (8, -6, 0).

AC = C - A = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3).

BC = C - B = (3 - 7, -2 - (-1), 6 - 3) = (-4, -1, 3).

2. Проверим условие перпендикулярности векторов через скалярное произведение:

AB · AC = (8)(4) + (-6)(-7) + (0)(3) = 32 + 42 + 0 = 74 ≠ 0.

AB · BC = (8)(-4) + (-6)(-1) + (0)(3) = -32 + 6 + 0 = -26 ≠ 0.

AC · BC = (4)(-4) + (-7)(-1) + (3)(3) = -16 + 7 + 9 = 0.

3. Так как скалярное произведение векторов AC и BC равно нулю, то эти векторы перпендикулярны, следовательно, угол С равен 90 градусов.

Доказано.