3. Диагональ AC прямоугольной трапеции ABCD является биссектрисой угла A и перпендикулярна боковой стороне CD. а) Докажите, что высота трапеции равна её меньшему основанию. б) Найдите длины высоты и большего основания трапеции, если меньшее её основание равно 18 см.

Так как CD — боковая сторона, основания трапеции — AD и BC; высота равна AB. В прямоугольной трапеции AB перпендикулярна основаниям, поэтому ∠DAB = ∠ABC = 90°.

а) Диагональ AC делит угол DAB пополам, следовательно, ∠BAC = ∠CAD = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABC углы A и C равны 45°, поэтому AB = BC, а AC = AB√2. Значит, высота AB равна основанию BC.

Треугольник ACD прямоугольный при C, а ∠CAD = 45°. Поэтому он равнобедренный прямоугольный и AD = AC√2 = 2AB. Следовательно, AD вдвое больше BC, то есть BC — меньшее основание, а высота равна ему.

б) Меньшее основание BC равно 18 см. Значит, высота AB = 18 см, а большее основание AD = 2 · 18 = 36 см.

Ответ: высота — 18 см, большее основание — 36 см.