№ 3. Длина окружности, полученной при пересечении сферы плоскостью, равна 18π, а расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 12 см. Вычислите площадь сферы и объем шара, границей которого служит данная сфера.

Дано:

Длина окружности сечения C = 18π см.
Расстояние от центра сферы до плоскости d = 12 см.

Найти:

Площадь сферы S, объем шара V.

Решение:

1. Найдем радиус окружности сечения по формуле:
   C = \( 2\pi r_{\text{сеч}} \)
   \( 18\pi = 2\pi r_{\text{сеч}} \)
   r_сеч = 9 см.
2. Найдем радиус сферы по теореме Пифагора, используя радиус сечения и расстояние от центра до плоскости:
   R² = r_сеч² + d²
   R² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
   R = \( \sqrt{225} = 15 \) см.
3. Вычислим площадь сферы:
   S = \( 4\pi R^2 \) = \( 4\pi (15\text{ см})^2 \) = \( 4\pi \cdot 225 \text{ см}^2 \) = \( 900\pi \text{ см}^2 \).
4. Вычислим объем шара:
   V = \( \frac{4}{3}\pi R^3 \) = \( \frac{4}{3}\pi (15\text{ см})^3 \) = \( \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 \text{ см}^3 \) = \( 4 \cdot 1125\pi \text{ см}^3 \) = \( 4500\pi \text{ см}^3 \).

Ответ: Площадь сферы равна \( 900\pi \text{ см}^2 \), объем шара равен \( 4500\pi \text{ см}^3 \).