№ 4. Площадь сечения шара некоторой плоскостью равна 16π см², а расстояние от центра шара до этой плоскости равно 3 см. Вычислите площадь сферы, которая служит границей этого шара и объем шара.

Дано:

Площадь сечения S_сеч = 16π см².
Расстояние от центра до плоскости d = 3 см.

Найти:

Площадь сферы S, объем шара V.

Решение:

1. Найдем радиус сечения по формуле площади круга:
   S_сеч = \( \pi r_{\text{сеч}}^2 \)
   \( 16\pi = \pi r_{\text{сеч}}^2 \)
   r_сеч² = 16
   r_сеч = 4 см.
2. Найдем радиус сферы по теореме Пифагора:
   R² = r_сеч² + d²
   R² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
   R = \( \sqrt{25} = 5 \) см.
3. Вычислим площадь сферы:
   S = \( 4\pi R^2 \) = \( 4\pi (5\text{ см})^2 \) = \( 4\pi \cdot 25 \text{ см}^2 \) = \( 100\pi \text{ см}^2 \).
4. Вычислим объем шара:
   V = \( \frac{4}{3}\pi R^3 \) = \( \frac{4}{3}\pi (5\text{ см})^3 \) = \( \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \text{ см}^3 \) = \( \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3 \).

Ответ: Площадь сферы равна \( 100\pi \text{ см}^2 \), объем шара равен \( \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3 \).