3. Для освещения шахты солнечными лучами применили плоское зеркало. Под каким углом р к плоскости горизонта установлено зеркало, если угол возвышения Солнца над горизонтом а = 70°? (Ответ указать в градусах)

Решение:

Чтобы солнечные лучи, падающие под углом ollow{\(\alpha\) = 70^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту, осветили шахту (то есть стали падать вертикально вниз, к центру Земли), зеркало должно быть установлено так, чтобы угол отражения был равен углу падения. Луч света, идущий от Солнца, падает на зеркало. Угол между направлением луча и горизонтом составляет ollow{\(\alpha\) = 70^{\(\circ\)}}[/follow].

Угол между падающим лучом и плоскостью зеркала должен быть таким, чтобы отраженный луч был направлен вертикально вниз. Если ollow{\(\alpha\)}[/follow] - угол возвышения Солнца над горизонтом, то угол между падающим лучом и вертикалью равен ollow{90^{\(\circ\)} - \(\alpha\)}[/follow].

По закону отражения, угол падения равен углу отражения. Луч падает на зеркало, и отраженный луч уходит вниз. Плоскость зеркала должна быть наклонена под углом ollow{\(\beta\)}[/follow] к горизонту. Угол между падающим лучом и зеркалом ollow{\(\gamma\)}[/follow]. Угол между отраженным лучом и зеркалом также ollow{\(\gamma\)}[/follow].

Если Солнце находится под углом ollow{\(\alpha\) = 70^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту, то угол между падающим лучом и горизонтом равен ollow{70^{\(\circ\)}}[/follow]. Для того чтобы осветить шахту (направить луч вертикально вниз), зеркало должно быть повернуто так, чтобы угол между падающим лучом и зеркалом равнялся ollow{90^{\(\circ\)} - 70^{\(\circ\)} = 20^{\(\circ\)}}[/follow].

Угол, под которым установлено зеркало к горизонту ollow{\(\beta\)}[/follow], будет равен углу между падающим лучом и зеркалом, если луч падает под углом ollow{20^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту. Но это не так. Луч падает под углом ollow{70^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту.

Правильное рассуждение: Угол возвышения Солнца ollow{\(\alpha\) = 70^{\(\circ\)}}[/follow]. Это угол между лучом и горизонтом. Чтобы направить луч вертикально вниз, отраженный луч должен быть под углом ollow{90^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту. Если ollow{\(\alpha\)}[/follow] - угол падения луча относительно нормали к зеркалу, то угол отражения тоже ollow{\(\alpha\)}[/follow].

Пусть ollow{\(\beta\)}[/follow] - угол между зеркалом и горизонтом. Угол между падающим лучом и зеркалом равен ollow{|90^{\(\circ\)} - \(\alpha\) - \(\beta\)|}[/follow] или ollow{|\(\alpha\) - \(\beta\)|}[/follow] в зависимости от ориентации. Проще так: падающий луч образует с горизонтом угол ollow{\(\alpha\) = 70^{\(\circ\)}}[/follow]. Отраженный луч должен быть вертикальным, то есть под углом ollow{90^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту.

Угол между падающим лучом и зеркалом ollow{\(\theta\)_{пад}}[/follow]. Угол между отраженным лучом и зеркалом ollow{\(\theta\)_{отр}}[/follow]. По закону отражения ollow{\(\theta\)_{пад} = \(\theta\)_{отр}}[/follow].

Если зеркало установлено под углом ollow{\(\beta\)}[/follow] к горизонту, то угол между падающим лучом и зеркалом будет ollow{90 - \(70 - \beta\)}[/follow] (если зеркало наклонено вверх) или ollow{90 - \(70 + \beta\)}[/follow] (если зеркало наклонено вниз). Это сложно.

Проще: угол между падающим лучом и зеркалом равен углу между отраженным лучом и зеркалом. Отраженный луч должен быть вертикален. Угол между падающим лучом и горизонтом равен ollow{70^{\(\circ\)}}[/follow]. Угол между падающим лучом и вертикалью равен ollow{90^{\(\circ\)} - 70^{\(\circ\)} = 20^{\(\circ\)}}[/follow].

Чтобы отраженный луч стал вертикальным, зеркало должно быть повернуто так, чтобы угол между падающим лучом и плоскостью зеркала равнялся ollow{90^{\(\circ\)} - 20^{\(\circ\)}}[/follow] ? Нет.

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу равен углу между отраженным лучом и нормалью к зеркалу. Отраженный луч должен идти вертикально вниз. Падающий луч идет под углом ollow{70^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту.

Пусть ollow{\(\beta\)}[/follow] - угол между плоскостью зеркала и горизонтом. Падающий луч составляет угол ollow{70^{\(\circ\)}}[/follow] с горизонтом. Отраженный луч должен составлять угол ollow{90^{\(\circ\)}}[/follow] с горизонтом (вертикаль).

Угол падения ollow{\(\alpha\)_{пад}}[/follow]. Угол отражения ollow{\(\alpha\)_{отр}}[/follow].

Если зеркало установлено под углом ollow{\(\beta\)}[/follow] к горизонту, то угол между падающим лучом и зеркалом равен ollow{90^{\(\circ\)} - \(70^{\circ} - \beta\)}[/follow] или ollow{90^{\(\circ\)} - \(70^{\circ} + \beta\)}[/follow].

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу = ollow{\(\theta\)}[/follow]. Тогда угол между отраженным лучом и нормалью = ollow{\(\theta\)}[/follow].

Если угол возвышения Солнца ollow{\(\alpha\) = 70^{\(\circ\)}}[/follow], то угол между падающим лучом и вертикалью равен ollow{20^{\(\circ\)}}[/follow].

Чтобы отраженный луч был вертикальным, зеркало должно быть наклонено под углом, который уравновесит этот угол. Угол между падающим лучом и плоскостью зеркала + угол между отраженным лучом и плоскостью зеркала = 90° (если зеркало перпендикулярно падающему лучу).

Снова: ollow{\(\alpha\) = 70^{\(\circ\)}}[/follow] (угол между лучом и горизонтом). Отраженный луч должен быть под углом ollow{90^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту.

Угол, на который нужно повернуть зеркало, чтобы луч, падающий под углом ollow{\(\alpha\)}[/follow] к горизонту, отразился вертикально, равен ollow{|90^{\(\circ\)} - \(\alpha\)|} / 2[/follow] ? Нет.

Угол между падающим лучом и горизонтом = ollow{70^{\(\circ\)}}[/follow].

Рассмотрим угол между падающим лучом и зеркалом. Пусть ollow{\(\beta\)}[/follow] - угол зеркала с горизонтом.

Угол падения относительно зеркала = ollow{90^{\(\circ\)} - 70^{\(\circ\)} + \(\beta\)}[/follow] = ollow{20^{\(\circ\)} + \(\beta\)}[/follow].

Угол отражения относительно зеркала = ollow{90^{\(\circ\)} - 70^{\(\circ\)} + \(\beta\)}[/follow] = ollow{20^{\(\circ\)} + \(\beta\)}[/follow].

Отраженный луч должен быть вертикальным, т.е. под углом ollow{90^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту. Это значит, что угол между отраженным лучом и горизонтом должен быть ollow{90^{\(\circ\)}}[/follow].

Пусть ollow{\(\beta\)}[/follow] - угол наклона зеркала к горизонту. Падающий луч под углом ollow{70^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту. Отраженный луч под углом ollow{90^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту (вертикально вниз).

Угол между падающим лучом и зеркалом: ollow{|\(90^{\circ} - 70^{\circ}\) - \(90^{\circ} - \beta\)|}[/follow] = ollow{|20^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} + \(\beta\)|} = |\(\beta\) - 70^{\(\circ\)}|[/follow].

Угол между отраженным лучом и зеркалом: ollow{|\(90^{\circ} - 90^{\circ}\) - \(90^{\circ} - \beta\)|}[/follow] = ollow{|0^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} + \(\beta\)|} = |\(\beta\) - 90^{\(\circ\)}|[/follow].

По закону отражения: ollow{|\(\beta\) - 70^{\(\circ\)}| = |\(\beta\) - 90^{\(\circ\)}|}[/follow].

Если ollow{\(\beta\) < 70^{\(\circ\)}}[/follow], то ollow{70^{\(\circ\)} - \(\beta\) = 90^{\(\circ\)} - \(\beta\)}[/follow], что невозможно \(ollow{70^{\circ} = 90^{\circ}}[/follow]\).

Если ollow{70^{\(\circ\)} \(\le\) \(\beta\) < 90^{\(\circ\)}}[/follow], то ollow{\(\beta\) - 70^{\(\circ\)} = 90^{\(\circ\)} - \(\beta\)}[/follow]. ollow{2\(\beta\) = 160^{\(\circ\)}}[/follow], ollow{\(\beta\) = 80^{\(\circ\)}}[/follow].

Значит, зеркало должно быть установлено под углом ollow{80^{\(\circ\)}}[/follow] к горизонту.

Проверим: Угол падения = ollow{|80^{\(\circ\)} - 70^{\(\circ\)}| = 10^{\(\circ\)}}[/follow] относительно края зеркала. Угол отражения = ollow{|80^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)}| = |-10^{\(\circ\)}| = 10^{\(\circ\)}}[/follow] относительно края зеркала. Это не угол падения/отражения. Угол падения/отражения - это угол с нормалью.

Нормаль к зеркалу составляет угол ollow{90^{\(\circ\)} - 80^{\(\circ\)} = 10^{\(\circ\)}}[/follow] с вертикалью.

Угол между падающим лучом и вертикалью = ollow{20^{\(\circ\)}}[/follow>. Угол между нормалью и вертикалью = ollow{10^{\(\circ\)}}[/follow>. Угол падения = ollow{20^{\(\circ\)} - 10^{\(\circ\)} = 10^{\(\circ\)}}[/follow>.

Угол между отраженным лучом и вертикалью = ollow{0^{\(\circ\)}}[/follow>. Угол падения = Угол отражения = ollow{10^{\(\circ\)}}[/follow>. Всё сходится.

Ответ: 80