№3. Для украшения зала использовали 7 синих, 3 зелёные и 6 белых шариков. Сколько шариков в произвольном порядке может собрать Соня, если различать цвет шариков? (все шарики не могут быть взяты)

Всего имеется 7 + 3 + 6 = 16 шариков. Поскольку все шарики брать нельзя, длина последовательности может быть от 1 до 15. Различаются только цвета, поэтому считаем последовательности из синего (С), зелёного (З) и белого (Б) шариков, ограничивая их количество: не более 7 синих, 3 зелёных и 6 белых.

Для последовательности длины k без ограничений было бы 3^k вариантов. Исключаем варианты, в которых превышено допустимое количество шариков хотя бы одного цвета. По принципу включения-исключения получаем общее число последовательностей:

∑_k=1¹⁵ [3^k − C(k,8)·2^k−8 − C(k,4)·2^k−4 − C(k,7)·2^k−7 + C(k,12) + C(k,15) + C(k,11)], где слагаемые с невозможными биномиальными коэффициентами принимаются равными нулю.

Сумма равна 1 123 302. Учитываются все допустимые порядки и все длины от 1 до 15.

Ответ: 1 123 302 способа.