3. Доказать тождество: 1) $3\cos 2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos 2\alpha$; 2) $\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Доказать тождество: 1) $3\cos 2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos 2\alpha$; 2) \(\frac{\sin 5\alpha-\sin…$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем разность квадратов по формуле $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$:
$3\cos 2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=3\cos 2\alpha-\cos 2\alpha=2\cos 2\alpha.$
Получили правую часть, значит тождество доказано.
Применим формулу разности синусов $\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\sin 5\alpha-\sin 3\alpha=2\cos 4\alpha\sin\alpha.$
При $\cos 4\alpha\ne0$ делим обе части на $2\cos 4\alpha$:
$\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha.$
Тождество доказано в области определения выражения.

3. Доказать тождество: 1) \(3\cos 2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos 2\alpha\); 2) \(\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha\).